ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116410
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Задачи на максимум и минимум ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.
Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?


Решение

  Из четырёх последовательных квадратов (за три операции) можно получить число 4:   (n + 3)² – (n + 2)² – ((n + 1)² – n²) = (2n + 5) – (2n + 1) = 4.
  Получим так 24 четверки из чисел 6², 7², ..., 101². 20 четвёрок попарным вычитанием превратим в нули. Из чисел 4, 9, 16, 25 получим
14 = (25 – 4) – (16 – 9).  Из оставшихся чисел  (14, 4, 4, 4, 4, 1)  получим единицу:  4 – (14 – 4 – 4 – 4) – 1 = 1.


Ответ

1.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .