ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116411
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.


Решение

Общее число бананов в 2009 раз больше числа лимонов, которое в 2009 раз больше числа ананасов, следовательно, общее число фруктов в
2009² + 2009 + 1  раз больше числа ананасов.  2009² + 2009 + 1 ≡ (–6)² – 6 + 1 ≡ 0 (mod 31).

Замечания

1. 3 балла

2. Ср. с задачей 116406.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .