ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116414
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?


Решение

  Пусть   P(x) = anxn + ... + a1x + a0  и  P(2) = b.  Тогда   b = 2nan + ... + 2a1 + a0 > an + ... + a1 + a0,   следовательно, b больше каждого из коэффициентов ak.
  Обозначим  p0 = P(P(2)) = P(b) = anbn + ... + a1b + a0.  Поделив p0 на b c остатком, получим в остатке a0, а в частном –   p1 = anbn–1 + ... + a2b + a1.  Аналогично, поделив p1 на b c остатком, получим в остатке a1, а в частном –  p2 = anbn–2 + ... + a3b + a2,  и т. д.


Ответ

Барон всегда прав.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .