Версия для печати
Убрать все задачи

---

На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.

   Решение

---

Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?

   Решение

---

На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С₁, А₁ и В₁ соответственно так, что  ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = В₁С.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника С₁А₁В₁ лежит на биссектрисе угла А.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С₁, А₁ и В₁ соответственно так, что  ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = В₁С.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника С₁А₁В₁ лежит на биссектрисе угла А.

Решение

  Так как треугольники ВС₁А₁ и А₁В₁С – равнобедренные, то  ∠С₁А₁В = ∠В,  ∠В₁А₁С = ∠С  (см. рис.). Тогда  ∠С₁А₁В₁ = 180° – (∠ В + ∠ С) = ∠ A.

  Пусть высоты треугольника С₁А₁В₁ пересекаются в точке Н₁. Этот треугольник – также равнобедренный, поэтому  H₁В₁ = H₁С₁.  Кроме того,
∠В₁Н₁С₁ = 180° – ∠С₁А₁В₁ = 180° – ∠A,  поэтому четырёхугольник АВ₁H₁С₁ – вписанный. Углы В₁АH₁ и С₁АH₁ опираются на равные хорды, значит, они равны.

Замечания

Если треугольник АВС – остроугольный, то точки С₁, А₁ и В₁ всегда можно выбрать так, как указано в условии. Иначе какие-то из этих точек могут оказаться на продолжениях сторон.

Источники и прецеденты использования