Версия для печати
Убрать все задачи

---

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

   Решение

---

Восстановите треугольник ABC по вершине B, центру тяжести и точке пересечения L симедианы, проведённой из вершины B, с описанной окружностью.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон ВС, АС и АВ в точках A', B' и C' соответственно. Точка K – проекция точки C' на прямую A'B'. Докажите, что KC' – биссектриса угла AKB.

Решение

  Прежде всего отметим, что точка K лежит между точками A' и B', так как треугольник A'B'C' – остроугольный. Действительно, нетрудно проверить, что, например, угол A'B'C' равен  90° – ½ ∠A.

  Опустим перпендикуляр AL на B'C'. Прямоугольные треугольники ALB' и C'KA' подобны по острому углу. Поэтому
  Аналогично     Перемножая эти равенства, получим     откуда следует подобие треугольников AB'K и BA'K (углы AB'K и BA'K равны как смежные к углам равнобедренного треугольника A'CB'). Значит, углы AKB' и BKA' равны, что эквивалентно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования