Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда m_a > a/2.

   Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

AL – биссектриса треугольника ABC, K – такая точка на стороне AC, что  CK = CL.  Прямая KL и биссектриса угла B пересекаются в точке P.
Докажите, что  AP = PL.

   Решение

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

AL – биссектриса треугольника ABC, K – такая точка на стороне AC, что  CK = CL.  Прямая KL и биссектриса угла B пересекаются в точке P.
Докажите, что  AP = PL.

Решение

Обозначим:  ∠A = 2α,  ∠B = 2β.  Так как треугольник KCL – равнобедренный, то  ∠KLC = ∠LKC = α + β.  Отсюда  ∠ALK = β,  значит, четырёхугольник ABLP – вписанный. Следовательно,  ∠LAP = ∠LBP = β = ∠ALP,  то есть треугольник APL – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования