|
|
 |
Условие
Внутри треугольника ABC на биссектрисе его угла B выбрана такая точка M, что AM = AC и ∠BCM = 30°. Докажите, что ∠AMB = 150°.
Решение
Пусть K и L – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны AB и BC, а N – середина гипотенузы CM прямоугольного треугольника CML. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон, поэтому MK = ML. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, поэтому ML = ½ CM = MN, значит, MK = MN, а так как KN⊥ AN, то точка M равноудалена от сторон угла NAK. Следовательно, AM – биссектриса этого угла.
Пусть ∠CAN = ∠NAM = ∠MAK = α. Тогда ∠ACN = 90° – α, ∠C = (90° – α) + 30° = 120° – α, ∠BAC = 3α, ∠B = 180° – 3α – (120° – α) = 60° – 2α,
∠ABM = ½ ∠B = 30° – α.
Следовательно, ∠AMB = 180° – α – (30° – α) = 150°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6315 |
