Задача 116504

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, точка C₁ симметрична C относительно O, D – середина стороны AB, K – центр описанной окружности треугольника ODC₁. Докажите, что точка O делит пополам отрезок прямой OK, лежащий внутри угла ACB.

Решение

  Пусть прямая OK пересекает стороны BC и AC в точках X и Y соответственно, а описанную окружность Ω₁ треугольника ODC₁ – в точке Z. Поскольку
OD ⊥ OA  и  DZ ⊥ OD  (точка D лежит на окружности Ω₁ с диаметром OZ), точки A, D и Z лежат на одной прямой. Значит,
∠COX = ∠ZOC₁ = ∠ZDC₁ = ∠ADC₁.
  Пусть Ω – описанная окружность треугольника ABC. Вписанные в неё углы C₁CB и C₁AB равны, поэтому  ∠OCX = ∠C₁CB = ∠C₁AB = ∠C₁AD. Следовательно, треугольники COX и ADC₁ подобны по двум углам. Аналогично подобны треугольники COY и BDC₁.
  Следовательно,  OX : OC = DC₁ : AB  и  OY : OC = DC₁ : DB,  а так как  AD = BD,  то  OX = OY.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6318