|
|
 |
Условие
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.).
Решение
Подходящие выпуклые многогранники можно свернуть, например, из треугольника ABC со сторонами AB = AC = 3 и BC = 2. Разделим стороны на отрезки длины 1: BM = MK = KA = CN = NL = LA = BP = PC = 1 (рис. слева).
Если провести сгибы вдоль линий KL и MN, совместив при этом точки A и P в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как высота AP треугольника ABC перпендикулярна отрезкам KL и MN и делится ими на три равные части), а затем – сгибы вдоль линий MP и NP, совместив при этом точки B и K, C и L, то при этом образуется четырёхугольная пирамида SKLNM, удовлетворяющая условию задачи (рис. справа).
Если же провести сгибы вдоль линий MC и KC, совместив при этом точки B и L в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как сумма любых двух из трёх углов BCM, MCK и KCL всегда больше третьего из них, а BC = LC), а затем – сгиб вдоль линии KL, совместив при этом точки A и M, то образуется треугольная пирамида SKMC, противоположные рёбра которой попарно различны (рис. снизу).
Ответ
Найдётся.
Замечания
Пользуясь формулой Эйлера (см. задачу 60331), можно доказать, что нет других выпуклых многогранников, удовлетворяющих условию, кроме треугольной и четырёхугольной пирамиды.
