Задача 116584

Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Богданов И.И.

Числа a и b таковы, что   a³ – b³ = 2,  a⁵ – b⁵ ≥ 4.   Докажите, что  a² + b² ≥ 2.

Решение

2(a² + b²) = (a² + b²)(a³ – b³) = (a⁵ – b⁵) + a²b²(a – b) ≥ 4 + a²b²(a – b) ≥ 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
Задача
Номер	9.6