Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты.
Докажите, что их центры образуют квадрат.
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
|
|
 |
Условие
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
Решение
Пусть a – один из членов прогрессии, а d – её разность. По условию, числа a(a + d) и a(a + 2d) – также члены прогрессии; значит, их разность имеет вид nd при некотором целом n, то есть ad = nd. Поскольку d > 0, получаем a = n, то есть a – целое число.
