Задача 116631

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Емельянов Л.А., Емельянова Т.

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Решение

   Обозначим  ∠OBA = ∠OAB = α,  ∠OBC = ∠OCB = γ;  тогда  ∠ACB = ½ ∠AOB = 90° – α.  Поскольку четырёхугольник BPOQ вписан,  ∠OPQ = α  и
∠OQP = γ.  Пусть OO₁ – высота треугольника OPQ, а H – точка пересечения прямых OO₁ и AC. Без ограничения общности можно считать, точка H лежит на луче CA.

   Угол POH – внешний угол треугольника POO₁, поэтому  ∠POH = 90° + α = 180° – ∠HCP.  Значит, четырёхугольник CHOP вписан, и
∠PHO = ∠PCO = γ.  Пусть P₁ – точка пересечения прямых OQ и PH. Вновь по свойству внешних углов
∠QP₁H = ∠QPH + ∠PQO = ∠QPH + ∠PHO₁ = ∠HO₁Q = 90°.  Итак,  PH ⊥ OQ,  то есть H – ортоцентр треугольника OPQ.

Замечания

Нетрудно показать, что треугольники ABC и PHQ подобны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
Задача
Номер	9.2