Задача 116641

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шмаров В.

Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что  AX = AY = 1.  Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.

Решение

  Поскольку отрезки BC и XY пересекаются, можно считать, что  AB > AX  и  AC < AY.  Пусть вневписанная окружность ω исходного треугольника касается стороны BC в точке R, а продолжений сторон AB и AC в точках P и Q соответственно (см. рис.).

  Как известно (см. задачу 55483), отрезки AP и AQ равны полупериметру треугольника ABC, то есть 2. Отсюда следует, что X и Y – середины этих отрезков. Значит, прямая XY – радикальная ось (см. задачу 61191) окружности ω и точки A. Поэтому  AM = MR,  и периметр треугольника ACM равен  AC + CM + MR = AC + CR = AC + CQ = AQ = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
Задача
Номер	10.4