|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.
Решение
Заметим, что центр I вписанной окружности треугольника ABC является ортоцентром треугольника KLM, образованного внешними биссектрисами. Проведём через I прямую m, параллельную l. Прямые ma, mb, mc, симметричные m относительно этих биссектрис, пересекаются в одной точке T, лежащей на описанной окружности Ω треугольника KLM (см. задачу 55657). Тогда прямые la, lb, lc удалены от T на расстояние, равное радиусу r вписанной в треугольник ABC окружности. Таким образом, окружность ωT радиуса r с центром T является либо вписанной, либо вневписанной окружностью образованного этими прямыми треугольника Δ.
Когда прямая l совпадает с прямой BC, как легко проверить, Δ симметричен треугольнику ABC относительно внешней биссектрисы угла A. Значит, в этом случае точка T – центр вписанной окружности треугольника Δ (радиусы вневписанных окружностей больше r).
Будем вращать прямую l вокруг I. При этом прямые la, lb, lc будут вращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении. С точки зрения "наблюдателя", сидящего в точке T (которая двигается по окружности Ω), весь треугольник Δ будет вращаться вокруг него, а его стороны будут все время касаться (постоянной для наблюдателя) окружности ωT. Значит, его размеры меняться не будут, и он всегда будет равен треугольнику ABC.
Замечания
1. См. также задачу М2272 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №4).
2. 8 баллов.
