|
|
 |
Условие
К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?
Решение
Предположим, что в исходной последовательности не менее 20 членов. Тогда среди соответствующих последовательных квадратов найдутся два квадрата чисел, кратных 10: (10b)² и (10b + 10)². Убрав последние два нуля мы обнаружим в исходной последовательности члены an = b²,
an+10 = b² + 2b + 1. Отсюда 2b + 1 = an+10 – an = 10. Противоречие.
Пример подходящей последовательности из 19 членов: 16, 17, ..., 34; соответствующие квадраты: 41² = 1681, 42² = 1764, ..., 59² = 3481.
Ответ
19 членов.
Замечания
Идеология. Быстро найти нужную последовательность можно из следующих соображений. Разности соседних членов последовательности квадратов – 18 последовательных нечётных чисел. Их сумма по условию больше 1600, значит, среднее арифметическое больше 1600 : 18 > 88, то есть минимальный набор этих нечётных чисел – от 73 до 107. Соответствующие квадраты – 36², 37², ..., 54². Но допускать в последовательности квадратов два числа, кратные 10, как показано выше, нельзя. Наименьшая последовательность, где таких нет, и даёт пример.
