ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116742
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Натуральные числа а, b, c и d таковы, что  ab = cd.  Может ли число  a + b + c + d  оказаться простым?


Решение

  Первый способ.  a + b + c + d = a + b + c + = = = .
  Полученное число – натуральное, при этом  а + с > c  и  b + c > c.  Следовательно, при сокращении дроби получится произведение двух множителей, отличных от 1, то есть составное число.

  Второй способ. Согласно задаче 98256 найдутся такие натуральные u, v, w, z, что  a = uv,  b = wz,  c = uw,  d = vz.  Тогда
a + b + c + d = uv + wz + uw + vz = (u + z)(v + w).  Оба множителя больше единицы, значит, число  a + b + c + d  – составное.


Ответ

Не может.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 58
Год 1995
вариант
Класс 9
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 7
задача
Номер 7.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .