Задача 116742

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Фольклор

Натуральные числа а, b, c и d таковы, что  ab = cd.  Может ли число  a + b + c + d  оказаться простым?

Решение

  Первый способ.  a + b + c + d = a + b + c + = = = .
  Полученное число – натуральное, при этом  а + с > c  и  b + c > c.  Следовательно, при сокращении дроби получится произведение двух множителей, отличных от 1, то есть составное число.

  Второй способ. Согласно задаче 98256 найдутся такие натуральные u, v, w, z, что  a = uv,  b = wz,  c = uw,  d = vz.  Тогда
a + b + c + d = uv + wz + uw + vz = (u + z)(v + w).  Оба множителя больше единицы, значит, число  a + b + c + d  – составное.

Ответ

Не может.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	58
Год	1995
вариант
Класс	9
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	16
Дата	1994/1995
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	7
задача
Номер	7.4.3