ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 107788  (#1)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Теорема Виета ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Целые числа a, b и c таковы, что числа  a/b + b/c + c/a  и  a/с + с/b + b/a  тоже целые. Докажите, что  |a| = |b| = |c|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108113  (#2)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прямая отсекает от правильного 10-угольника ABCDEFGHIJ со стороной 1 треугольник PAQ, в котором  PA + AQ = 1.
Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок PQ из вершин B, C, D, E, F, G, H, I, J.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108070  (#3)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ ГМТ и вписанный угол ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116742  (#4)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Фольклор

Натуральные числа а, b, c и d таковы, что  ab = cd.  Может ли число  a + b + c + d  оказаться простым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107782  (#5)

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .