ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116752
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Углы между прямыми и плоскостями ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых  l1, ..., ln,  проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  l1, ..., ln,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.


Решение

  Рассмотрим точки пересечения  A1, A2, ...  плоскостей граней с соответствующими им прямыми. Выберем среди всех отрезков PAi наименьший (если таких несколько – рассмотрим любой из них). Обозначим этот отрезок через PA.   Предположим, что точка A не принадлежит своей грани. Тогда прямая PA пересекает какую-то другую грань в её внутренней точке C. Рассмотрим соответствующую прямую PB для этой грани (см. рис.).

  Поскольку  β ≥ γ,  то  PC ≥ PB.  С другой стороны,  PA > PC.  Тогда  PA > PB,  что противоречит выбору отрезка PA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 10 (2012 год)
Дата 2012-04-8
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .