|
|
 |
Условие
Внутри окружности с центром O отмечены точки A и B так, что OA = OB.
Постройте на окружности точку M, для которой сумма расстояний до точек A и B наименьшая среди всех возможных.
Решение
Пусть даны точки A и B. Тогда геометрическое место таких точек M, что AM + BM = a (= const) есть эллипс с фокусами A и B. Если точка K лежит внутри эллипса, то AK + BK < a, а если вне, то AK + BK > a.
Рассмотрим семейство эллипсов с фокусами A и B. Наибольший из этих эллипсов, лежащий внутри окружности, касается её либо в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к AB (рис. слева), либо в двух точках, симметричных относительно этого перпендикуляра (рис. справа). Ясно, что искомый минимум суммы расстояний достигается в точках касания.
Проведём окружность через точки A, O и B. Если она пересекает данную окружность, то каждая из точек пересечения является искомой. Если же окружности не пересекаются, то искомой будет ближайшая к A точка пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к AB.
Замечания
Для доказательства того, что MO – биссектриса угла AMB, можно попытаться вместо свойств эллипса использовать "физические" соображения: угол падения равен углу отражения. Но, в этом случае, надо отдельно доказывать, что полученная "бильярдная траектория" имеет наименьшую длину, а не наибольшую! Подробно о бильярдных траекториях см. кн. Г.А. Гальперина и А.Н. Землякова "Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики".
