Задача 116757

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Дан параллелограмм ABCD с тупым углом A. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на BC. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке K. Докажите, что точки K, H, C и D лежат на одной окружности.

Решение

   Пусть E – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на AD. Тогда четырёхугольник AHBE – прямоугольник. Значит,
∠HED = ∠ABC = 180° – ∠BCD,  то есть точки D, C, H, E лежат на некоторой окружности ω (см. рис.).

   Заметим, что M – точка пересечения диагоналей прямоугольника AHBE. Поскольку точки A, K, B, C лежат на одной окружности,
MK·MC = MA·MB = MH·ME.  Это равенство означает, что точки C, K, H и E лежат на одной окружности. Эта окружность совпадает с ω,
так как имеет с ней три общие точки. Итак, точки K, H, C, D лежат на ω.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	5
класс
Класс	9
Задача
Номер	9.3