|
|
 |
Условие
Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB1 – AC1 = CA1 – CB1 = BC1 – BA1. Пусть IA, IB и IC – центры окружностей, вписанных в треугольники AB1C1, A1BC1 и A1B1C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника IAIBIC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
Обозначим через I центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а через A0, B0, C0 – точки её касания со сторонами BC, CA, AB, соответственно. Будем считать, что точка A1 лежит на отрезке A0B. Заметим, что CA0 + AC0 = CB0 + AB0 = CA. Из условия следует, что CA1 + AC1 = CB1 + AB1 = CA. Отсюда CA0 – CA1 = AC1 – AC0; это значит, что A1A0 = C1C0, и точка C1 лежит на отрезке C0A. Поэтому прямоугольные треугольники IA0A1 и IC0C1 равны по двум катетам (см. рис.).
Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. ∠IA1C = ∠IC1B, следовательно, четырёхугольник BC1IA1 вписан. Точки B, IB и I лежат на одной прямой (биссектрисе угла A1BC1), поэтому ∠A1IBI = ∠BA1IB + ∠A1BIB = ∠IBA1C1 + ∠C1BI = ∠IBA1C1 + ∠C1A1I = ∠IBA1I. Значит, треугольник IIBA1 равнобедренный: IIB = IA1. Аналогично IIB = IC1 = IIA = IB1 = IIC = IA1. Следовательно, I – центр описанной окружности треугольника IAIBIC.
Второй способ. IA1 = IC1, аналогично IA1 = IB1. Таким образом I – центр описанной окружности Ω треугольника A1B1C1 (см. рис.).
∠A1IC1 = ∠A0IC0 = 180° – ∠B. Значит, ∠A1B1A1 = 90° – ½ ∠B = 180° – ∠A1IBC1 (см. задачу 55448). Следовательно, точка IB лежит на Ω.
Так же доказывается, что на Ω лежат IA и IC.
Замечания
Ср. с задачей 116776.
