С помощью волшебного банкомата можно поменять любую купюру на любое конечное число купюр меньшего достоинства. Получив 1000 франков одной бумажкой, сможете ли Вы каждый месяц платить квартплату? (Дело происходит в Швейцарии, где квартплата постоянна, а жизнь бесконечна.)

   Решение

В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?

   Решение

На биссектрисе AL треугольника ABC , в котором AL=AC , выбрана точка K таким образом, что CK=BL . Докажите, что CKL= ABC .

   Решение

По кругу расставлены цифры 1, 2, 3,..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких чисел. Зависит ли она от порядка, в котором записаны цифры?

   Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, BAC = 45^o. Прямая MN пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точке N, AM = 2 ^. MC, NMC = 60^o. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади четырёхугольника ABNM.

   Решение

M – произвольная точка на стороне AC треугольника ABC . Доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и BCM , не зависит от выбора точки M на стороне AC .

   Решение

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть O_A, O_B и O_C – центры описанных окружностей треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника O_AO_BO_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть O_A, O_B и O_C – центры описанных окружностей треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника O_AO_BO_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Обозначим через I центр вписанной окружности треугольника ABC, а через A₀, B₀, C₀ – точки её касания со сторонами BC, CA, AB. Будем считать, что точка A₁ лежит на отрезке A₀B. Как и в задаче 116760 (способ 1) докажем, что четырёхугольники BC₁IA₁, AB₁IC₁ и CA₁IB₁ вписаны, и  IA₁ = IB₁ = IC₁.

  Линии центров O_BO_C, O_CO_A, O_AO_B являются серединными перпендикулярами к общим хордам IA₁, IB₁, IC₁ соответственно; длины этих хорд равны. Значит, расстояния от I до сторон треугольника O_AO_BO_C равны. Поскольку углы IBA₁ и ICA₁ острые, а точка A₁ лежит на отрезке BC, то линия центров O_BO_C пересекает общую хорду IA₁. Аналогично пересекаются отрезки O_AO_C и IB₁, O_AO_B и IC₁. Значит, I лежит внутри треугольника O_AO_BO_C, то есть является центром его вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования