Задача 116870

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Перегруппировка площадей ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC отмечены точки L и K соответственно, M – точка пересечения отрезков AK и CL. Известно, что площадь треугольника AMC равна площади четырёхугольника LBKM. Найдите угол AMC.

Решение

  Из равенства площадей треугольника AMC и четырёхугольника LBKM следует равенство площадей треугольников ACK и CBL (см. рис.).

  Учитывая равенство сторон и углов в равностороннем треугольнике, получим, что  CK = LB.  Далее можно рассуждать по разному.
  Первый способ. Треугольники ACK и CBL равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠CKA = ∠BLC.  Поэтому
∠AMC = 180° – ∠MCA – ∠MAC = 120°.
  Второй способ. При повороте вокруг центра равностороннего треугольника ABC на угол 120° точка A переходит в точку C, а точка K – в точку L, то есть отрезок AK переходит в отрезок CL. Следовательно,  ∠AMC = 120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	10
Задача
Номер	10.3