ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116902
Темы:    [ Разные задачи на разрезания ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.
Докажите, что среди них есть треугольник.


Решение

  Пусть квадрат разрезан на n многоугольников. Каждый из этих многоугольников имеет не более одной стороны на каждой из сторон квадрата; с любым же из остальных многоугольников разбиения он граничит не более чем по одной стороне. Следовательно, всего у него может быть не более
4 + (n – 1) = n + 3 сторон.
  Итак, количество сторон любого многоугольника разбиения не меньше 3 и не больше  n + 3.  Если среди них нет треугольника, то количества их сторон должны быть равны  4, 5, ...,  n + 3.  Но тогда (n+3)-угольник должен примыкать ко всем сторонам квадрата. Поэтому каждый из остальных многоугольников может примыкать не более чем к двум сторонам квадрата и, следовательно, иметь не более  2 + (n – 1) = n + 1  стороны. Значит, среди многоугольников разбиения нет (n+2)-угольника. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 8
задача
Номер 8.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .