ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116906
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Доказательство от противного ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких  n > 3  правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?


Решение

  Если  n = 2k,  то k главных диагоналей разрезают правильный n-угольник на n равных треугольников.

  Докажем, что при нечётном n требуемое разрезание невозможно.

  Первый способ. Предположим, что правильный n-угольник P разрезан на равные треугольники. Рассмотрим те из этих треугольников, в которых одна из сторон является стороной P. Против этих равных сторон в каждом таком треугольнике лежит одинаковый угол α. Пусть остальные два угла треугольника равны β и γ. Возможны два случая.
  1)  β < γ.  Назовём сторону n-угольника β-стороной или γ-стороной в соответствии с тем, какой угол примыкает к её левому концу (если смотреть изнутри). Выберем некоторую β-сторону b и в примыкающем треугольнике разрезания рассмотрим сторону угла β, лежащую внутри P. Она лежит на диагонали, и на другом конце эта диагональ также образует угол β с некоторой стороной c многоугольника (рис. слева). Этот угол не может быть разрезан на углы другими диагоналями (иначе угол разбиения, примыкающий к c будет меньше β, а такого угла в треугольнике нет). Итак, наш угол β принадлежит треугольнику, примыкающему к γ-стороне. Наоборот, рассматривая угол β, примыкающий к произвольной γ-стороне c, мы найдём β-сторону b, сопоставленную ей. Итак, β- и γ-стороны разбиваются на пары, и общее их количество чётно. Противоречие.

         
  2)  β = γ,  и в треугольнике разрезания ABC, содержащем "нижнюю" сторону AB многоугольника,  ∠C = α.  Вертикальный к этому угол, равный α, лежит в некотором другом треугольнике разрезания, а против него – сторона, равная и параллельная AB. По другую сторону от неё в некотором треугольнике разрезания лежит угол, равный α, и т.д. Получилась цепочка треугольников (рис. справа). Рассмотрим последний треугольник UVW этой цепочки. Если он ориентирован не так, как ABC, то его верхняя сторона, равная и параллельная AB, является стороной P, а тогда n чётно (в правильном нечётноугольнике нет параллельных сторон). В противном случае угол при верхней вершине W треугольника UVW равен α, и W – вершина P. Заметим, что  α ≠ β  (если  α = β = γ = 60°,  то угол n-угольника кратен 60╟; но при нечётном  n > 3  это невозможно). Поэтому обе стороны UV и VW лежат на диагоналях и угол n-угольника при вершине W содержит как минимум угол α и два угла по β, откуда  α + 2β < 180°.  С другой стороны,  α + 2β = 180°  как сумма углов треугольника. Противоречие.

  Второй способ. Так как n нечётно, никакие две диагонали не перпендикулярны. Поэтому через каждую точку пересечения двух диагоналей должна проходить, по крайней мере, ещё одна диагональ (в противном случае образованные диагоналями смежные углы равны двум разным углам одного треугольника, что невозможно).
  Докажем что из каждой вершины многоугольника выходит не меньше двух диагоналей. Если из вершины Ai не выходит ни одной диагонали, то треугольник, содержащий эту вершину, – Ai-1AiAi+1, и один из углов треугольника разбиения равен углу n-угольника. Но тогда каждая сторона n-угольника лежит в треугольнике разбиения, содержащем ещё одну его сторону. Значит, стороны разбиваются на пары, что невозможно.
  Предположим, что из вершины Ai выходит одна диагональ. Тогда она делит угол при этой вершине на два неравных угла β и γ. Оба эти угла примыкают к сторонам n-угольника; значит, в каждом треугольнике разбиения к стороне, равной стороне n-угольника, примыкают углы, равные β и γ. Итак, сумма всех углов треугольников разбиения, примыкающих к сторонам n-угольника, равна  n(β + γ),  что равно сумме углов n-угольника. Значит, из каждой вершины выходит ровно одна диагональ, что невозможно в силу нечётности n.
  Итак, пусть n-угольник разрезан на k треугольников; сумма всех их углов равна 180°k. Вклад углов n-угольника в эту сумму равен 180°(n – 2),  значит, сумма углов при точках пересечения диагоналей равна  180°(kn + 2);  каждая такая точка добавляет 360°, поэтому количество этих вершин равно
½ (k – n + 2).  Поскольку каждая такая точка принадлежит по крайней мере шести треугольникам, а каждая вершина многоугольника – трём, то общее число треугольников не меньше чем  (3(k – n + 2) + 3n) : 3 = k + 2 > k.  Противоречие.


Ответ

При чётных n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .