|
|
 |
Условие
Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.
Решение
Пусть O – центр Ω. Из прямоугольных треугольников ABH и ACH имеем AK·AB = AH² = AL·AC, то есть AK : AL = AC : AB. Поэтому треугольники ALK и ABC подобны, то есть ∠AKL = ∠ACB. Поскольку ∠OAB = 90° – ∠ACB, то OA ⊥ KL. Значит, OA – серединный перпендикуляр к хорде PQ, и поэтому AP = AQ. Следовательно, TA – биссектриса угла PTQ (см. рис.).
Итак, центр I вписанной окружности треугольника PQT лежит на TA. Кроме того, AI = AQ (см. задачу 53119). Осталось проверить, что AH = AP.
Первый способ.Пусть D и N –
точки пересечения AO с KL и Ω соответственно, а r – радиус Ω. Из прямоугольного треугольника AQN
AQ² = 2r·AD. Заметим, что AH – диаметр описанной окружности треугольника AKL, значит, коэффициент подобия треугольников AKL и ABC равен AH/2r. Отрезки AD и AH – соответственные высоты в этих треугольниках, поэтому AD : AH = AH : 2r, или AH² = 2r·AD = AQ².
Второй способ. При инверсии с центром A и радиусом AQ прямая PQ и окружность Ω переходят друг в друга, поэтому точки B и K также переходят друг в друга. Следовательно, AQ² = AB·AK = AH².
