ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116910
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.


Решение

  Пусть O – центр Ω. Из прямоугольных треугольников ABH и ACH имеем  AK·AB = AH² = AL·AC,  то есть  AK : AL = AC : AB.  Поэтому треугольники ALK и ABC подобны, то есть  ∠AKL = ∠ACB.  Поскольку  ∠OAB = 90° – ∠ACB,  то  OAKL.  Значит, OA – серединный перпендикуляр к хорде PQ, и поэтому AP = AQ. Следовательно, TA – биссектриса угла PTQ (см. рис.).

   Итак, центр I вписанной окружности треугольника PQT лежит на TA. Кроме того,  AI = AQ (см. задачу 53119).  Осталось проверить, что  AH = AP.
  Первый способ.Пусть D и N – точки пересечения AO с KL и Ω соответственно, а r – радиус Ω. Из прямоугольного треугольника AQN   AQ² = 2r·AD.  Заметим, что AH – диаметр описанной окружности треугольника AKL, значит, коэффициент подобия треугольников AKL и ABC равен  AH/2r.  Отрезки AD и AH – соответственные высоты в этих треугольниках, поэтому  AD : AH = AH : 2r,  или  AH² = 2r·AD = AQ².
  Второй способ. При инверсии с центром A и радиусом AQ прямая PQ и окружность Ω переходят друг в друга, поэтому точки B и K также переходят друг в друга. Следовательно,  AQ² = AB·AK = AH².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .