Задача 116917

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Точка Лемуана ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.

Решение

Прямая DK является симедианой треугольника ACD (см. задачу 56983). Треугольники ACD и CBD подобны. Значит, если DL и DM – их медианы, то  ∠CDK = ∠ADL = ∠CDM,  откуда и следует, что точка M лежит на DK.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	10
задача
Номер	10.7