ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116918
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.


Решение

  Точки X и Y лежат на диагоналях BD и AC соответственно; поэтому прямые AC и BD содержат высоты треугольников AXB и CYD. Отметим на отрезках AM и DM точки P и Q так, что  AP = DQ = AD.  Тогда AX – биссектриса и, следовательно, высота в равнобедренном треугольнике ABP; значит, ортоцентр Hx – это точка пересечения прямых BP и AC. Аналогично Hy – точка пересечения CQ и BD. Из тех же соображений получаем  AZDP,
DZAQ,  так что Hz – точка пересечения прямых AQ и DP (см. рис.).

  Применим теорему Дезарга к треугольникам BPD и CAQ: прямые BC, PA и DQ, соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в точке M, следовательно, точки пересечения прямых, содержащих соответственные стороны этих треугольиков, лежат на одной прямой. Как показано выше, эти точки и есть Hx, Hy и Hz.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 10
задача
Номер 10.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .