Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).

   Решение

На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отложен отрезок AE длины l . На диагонали B₁D₁ его верхней грани отложен отрезок B₁F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?

   Решение

На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.

Решение

Пусть  ∠MKB = ∠MNC = α,  ∠KMB = ∠KNA = β  (см. рис.). Из треугольника KMB получим, что  α + β = 120°.  Теперь из треугольников NKA и NMC видно, что  ∠NKA = α,  ∠NMC = β.

Значит, и углы, вертикальные углам NKA и NMС, равны α и β соответственно. Следовательно, лучи KB и MB являются биссектрисами внешних углов треугольника KNM. Так как биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла при третьей вершине пересекаются в одной точке, то NB – биссектриса угла MNK.

Источники и прецеденты использования