ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116945
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.


Решение

  Пусть r1 и r2 – радиусы окружностей ω1 и ω2 соответственно, а O1 и O2 – их центры. Если  r1 = r2,  то треугольники A1B1C1 и A2B2C2 симметричны относительно точки пересечения прямых O1O2 и C1C2, и их площади равны.
  Пусть  r1 < r2.  Тогда лучи A2A1 и B2B1 пересекаются в некоторой точке S (рис. слева). Гомотетия с центром и коэффициентом  r1/r2  переводит ω2 в ω1, A2 – в A1, B2 – в B1, следовательно,  A1B1 : A2B2 = r1 : r2.  Осталось доказать, что высоты h1 и h2 треугольников A1B1C1 и A2B2C2, проведённые соответственно из вершин C1 и C2, равны.

  Первый способ. Обозначим через P и Q точки пересечения прямой c с прямыми a и b, а проекции точек B1, C1, B2, C2, P и Q на линию центров O1O2 через    P' и Q' соответственно.
  Напомним, что  PA1 = PC1 = QB2 = QC2  (см. задачу 56658).
  Пусть прямая c пересекает O1O в точке M. Положим  α = ∠PSM = ∠QSM,  β = ∠SMP = ∠O2MQ.  Имеем

           

  Второй способ. Середина A0 отрезка A1A2 лежит на радикальной оси l окружностей ω1 и ω2, поскольку касательные, проведённые из A0 к этим окружностям, равны (рис. справа). По той же причине на этой радикальной оси лежат середины B0 и C0 отрезков B1B2 и C1C2. Поэтому точки C1 и C2 равноудалены от l. Как известно, радикальная ось перпендикулярна линии центров O1O2, поэтому прямые A1B1 и A2B2 тоже равноудалены от l. Следовательно, расстояние h1 от C1 до A1B1 равно расстоянию h2 от C2 до A2B2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .