Условие
В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC. Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.
Решение
Пусть S – середина хорды BP, O – центр окружности Ω.
Первый способ. Равнобедренные треугольники AQC и POC подобны, так как углы QAC и OPC опираются на одну дугу QC. Прямоугольные треугольники AQM и POS подобны, так как углы QAM и OPS опираются на одну дугу QB. Поэтому AM : PS = AQ : PO = AC : PC.
Поскольку углы MAC и SPC опираются на одну дугу BC, то треугольники AMC и PSC подобны. Отсюда следует, что углы BMC и BSC равны как смежные с соответственными углами в этих треугольниках. Следовательно, точки B, C, M, S лежат на одной окружности.
Второй способ. Пусть K – точка, симметричная точке C относительно прямой BQ. Прямая BQ является внешней биссектрисой угла ABC, значит, точка K лежит на прямой AB. Далее, из симметрии получаем QK = QC = QA. Значит, треугольник QAK равнобедренный, и его высота QM является медианой: AM = MK.
Но и треугольник BCK равнобедренный, значит, ∠BKC = ½ ∠ABC = ∠PBC. Кроме того, углы BPC и BAC равны как опирающиеся на одну дугу. Следовательно, треугольники CAK и CPB подобны. Поэтому углы CSB и CMK (соответственные в этих подобных треугольниках) равны, то есть
CSB = ∠CMB. Значит, точки C, S, M, B лежат на одной окружности.
