Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3- Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Решение

Ясно, что все эти числа равны ±1. Сумма может равняться нулю, только если единиц и минус единиц поровну – по 11. Но тогда их произведение равнялось бы –1.

Источники и прецеденты использования