Задача 30356

Темы:    [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Условие

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

Подсказка

См. задачи 60342, 35628.

Решение

Выстроим всех людей в ряд и выдадим им номера пар: каким-то двоим дадим по единице, каким-то двоим по двойке, каким-то двоим по тройке, ..., каким-то двоим по семёрке. Количество способов раздать $14$ стоящим в ряд людям $7$ пар таких номеров равно $14! : (2!)^7$. При этом способы, отличающиеся перестановкой пар как единое целое, мы посчитали по $7!$ раз. Так как неважно, в каком именно порядке стоят пары, поделим: $$\frac{14!}{(2!)^7 \cdot 7!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 5) \cdot \ldots \cdot (2 \cdot 1)} = 13 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 13!!$$

Ответ

13·11·9·7·5·3 = 13!!  способами.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Комбинаторика-1
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	047