Задача 30608

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Пусть натуральное число n таково, что  n + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

Подсказка

Докажите, что сумма делителей n делится и на 3, и на 8.

Решение

  Так как  n + 1  делится на 3 и 8, то n при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 8 – остаток 7.
  Разобьём делители на пары вида  {n, ⁿ/_d}.  Заметим, что если d даёт остаток 1 при делении на 3, то ⁿ/_d даёт остаток 2 и наоборот (отсюда, в частности, следует, что пара не может состоять из одинаковых чисел). Поэтому сумма делителей в каждой такой паре кратна 3.
  Аналогично, сумма делителей в каждой такой паре кратна 8.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	022
книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	30