Задача 30760
|
|
|
Условие
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k = 3; б) k = 4; в) k = 6.
Решение
Отметим некоторое множество вершин 12-угольника: а) рис. слева; б) рис. в центре; в) рис. справа. Заметим, что любой набор из k вершин подряд содержит ровно две отмеченные вершины, поэтому произведение всех чисел в отмеченных вершинах не меняется.
Аналогично доказывается, что минус единицу нельзя сметить вправо.
Ответ
Нельзя.
Замечания
В решении задачи М109 рассматривается более общая формулировка.
