ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 73641  (#М106)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что если для чисел p1, p2, q1 и q2 выполнено неравенство  (q1q2)² + (p1p2)(p1q2p2q1) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p1x + q1  и  x² + p2x + q2  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73642  (#М107)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, ..., на стороне AnA1 – точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2, ..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A1B1·A2B2·...·AnBn = A1D1·A2D2·...·AnDn.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A1A2 выбраны точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, а на стороне A3A1 – точки B3 и D1 так, что  A1B1·A2B2·A3B3 = A1D1·A2D2· A3D3,  то, построив параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2 и A3B3C3D3, получим прямые A1C1, A2C2 и A3C3, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56790  (#М108)

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Периметр треугольника ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30760  (#М109)

Темы:   [ Инварианты ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  k = 3;   б)  k = 4;   в)  k = 6.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58212  (#М110)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Разрезания на параллелограммы ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .