ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58212
Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Разрезания на параллелограммы ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

Решение

Возьмем какой-нибудь достаточно большой квадрат со стороной 2n так, чтобы все черные клетки лежали внутри его и составляли менее 0, 2 его площади. Разрежем этот квадрат на четыре одинаковых квадрата. Каждый из них окрашен менее чем на 0, 8. Те из них, которые окрашены более чем на 0, 2, оставляем, а остальные режем дальше таким же образом. Полученные квадраты 2×2 будут окрашены на 1/4, 1/2, 3/4 или не будут окрашены вовсе. Из листа бумаги нужно вырезать те полученные квадраты, в которых есть окрашенные клетки.

Замечания

Задача допускает обобщение на трехмерный случай с заменой 1/5 на 1/9 и 4/5 на 8/9.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 24
Название Целочисленные решетки
Тема Целочисленные решетки
параграф
Номер 3
Название Разные задачи
Тема Целочисленные решетки (прочее)
задача
Номер 24.007
журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М110

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .