Условие
а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, ..., на стороне AnA1 – точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2, ..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство A1B1·A2B2·...·AnBn = A1D1·A2D2·...·AnDn.
б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне
A1A2 выбраны точки
B1 и
D2, на стороне
A2A3 – точки
B2 и
D3, а на стороне
A3A1 – точки
B3 и
D1 так, что
A1B1·
A2B2·
A3B3 =
A1D1·
A2D2·
A3D3, то, построив параллелограммы
A1B1C1D1,
A2B2C2D2 и
A3B3C3D3, получим прямые
A1C1,
A2C2 и
A3C3, пересекающиеся в одной точке.
Решение
а) Пусть O – точка пересечения. Запишем равенство, которое нам нужно доказать, так: 
= 1.
Теперь заметим, что отношения отрезков 
соответственно равны отношениям площадей треугольников 
так что нужное нам равенство можно записать так: 
или 
Но последнее равенство очевидно. Действительно, площади треугольников AiBiO и AiDiO для каждого i = 1, 2, ..., n равны, поскольку они имеют общую сторону AiO и равные высоты (рис. слева); высоты, опущенные из вершин Bi и Di на сторону AiO, равны, потому что диагональ AiCi делит параллелограмм AiBiCiDi на два равных треугольника.
б) Обратную теорему можно вывести из прямой. Пусть
P – точка пересечения прямых
A1C1 и
A2C2. Предположим, что прямая
A3P не проходит через точку
C3. Тогда она пересекает одну из сторон
B3C3 или
D3C3 параллелограмма
A3B3D3C3, скажем,
D3C3 (рис. справа) в точке
C'3. Выберем на стороне
A3A1 такую точку
B'3, что
A3B'3C'3D3 – параллелограмм. Теперь согласно п. а)
A1B1·
A2B2·
A3B'3 =
A1D1·
A2D2·
A3D3, с другой стороны, по условию
A1B1·
A2B2·
A3B3 =
A1D1·
A2D2·
A3D3, поэтому
A3B'3 =
A3B3, следовательно, наше предположение о том, что точки
C3 и
C'3 (и, следовательно, точки
B3 и
B'3) не совпадают, неверно.
Источники и прецеденты использования
