Задача 30812

Темы:    [ Деревья ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8

Условие

Расстоянием между двумя произвольными вершинами дерева будем называть длину простого пути, соединяющего их. Удалённостью вершины дерева назовём сумму расстояний от неё до всех остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого есть две вершины с удалённостями, отличающимися на 1, нечётное число вершин.

Решение

Соединим эти две вершины A и B путем. Пусть a – его длина. Расстояние от любой вершины до A и B отличаются на величину, имеющую ту же чётность, что и a. Поэтому если число вершин чётно, то (независимо от чётности a) удаленности A и B отличаются на чётное число, что противоречит условию.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	13
Название	Графы-2
Тема	Теория графов
задача
Номер	034