Задача 30891

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Замена переменных (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Условие

Докажите, что при любом x выполняется неравенство  x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.

Решение

Положим  t = x + ³/₂.  Тогда
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (t – ³/₂)(t – ½)(t + ½)(t + ³/₂) + 1 = (t² – ⁹/₄)(t² – ¼) + 1 = t⁴ – ¹⁰/₄ t² + ²⁵/₁₆ = (t² – ⁵/₄)² ≥ 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	048