Версия для печати
Убрать все задачи

---

Перед вами замок "с секретом" (см. рисунок).

Если вы поставите стрелки на нужные буквы, то получите ключевое слово и замок откроется. Какое это слово?

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение $$\begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*}$$ имеет хотя бы один действительный корень.

   Решение

---

Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его стороны.

   Решение

---

Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2^n–1 различными способами.

   Решение

---

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что  sin x  всегда равен нулю, а  cos x  – единице:

Где ошибка в приведённых равенствах?

   Решение

---

Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.

   Решение

Тема:    [ Четность и нечетность ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.

Решение

См. задачу 30290 а).

Источники и прецеденты использования