Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

   Решение

---

Доказать, что  (2ⁿ – 1)ⁿ – 3  делится на  2ⁿ – 3  при любом n.

   Решение

---

Доказать, что при чётном n   20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1  делится на 323.

   Решение

---

Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

   Решение

---

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

   Решение

Темы:    [ Ориентированные графы ] [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8,9

Прислать комментарий

Условие

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

Решение

Рассмотрим ориентированный граф, вершины которого – шахматисты, а стрелки ведут от выигравшего к проигравшему. Условие означает, что для каждого шахматиста есть другой, до которого можно добраться только по 11 стрелкам (это, в частности означает, что от каждого шахматиста можно добраться до любого другого). Рассмотрим такой путь: A₁ выиграл у A₂, A₂ – у A₃, ..., A₁₁ – у A₁₂. Заметим, что A_i  (1 < i < 12)  не мог выиграть у A₁ (иначе от A₂ можно было бы добраться до каждого не более чем по 10 стрелкам). Но кто-то у A₁ выиграл (иначе до A₁ вообще нельзя было бы добраться), значит, это – A₁₂. Как и выше, показываем, что в полученном цикле каждый мог выиграть только у следующего.

Следовательно, результативных партий всего 12, а ничьих –  12·11 : 2 – 12 = 54.

Ответ

54 ничьих.

Источники и прецеденты использования