Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

   Решение

Доказать, что  (2ⁿ – 1)ⁿ – 3  делится на  2ⁿ – 3  при любом n.

   Решение

Доказать, что при чётном n   20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1  делится на 323.

   Решение

Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

   Решение

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

   Решение

По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

   Решение

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

   Решение

Темы:    [ Правило произведения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

Решение

Пусть выбиты зубья A₁, A₂, A₃, A₄. Будем поворочивать верхнюю шестеренку относительно нижней. Помимо исходного положения есть еще 13 положений верхней шестеренки, когда из зубья совмещаются. Из них плохими являются не более 12 (когда зубец A_i верхней шестеренки совмещается с зубцом A_j нижней,  i ≠ j).  Значит, имеется и хорошее положение.

Источники и прецеденты использования