|
|
 |
Условие
Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.
Решение
Пусть искомое число содержит n цифр. Тогда оно не меньше чем 10n–1 (это наименьшее n-значное число). С другой стороны, сумма его цифр не больше 9n (так как каждая цифра не больше 9). Поэтому искомое число не превосходит 12•9n = 108n. Но согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899)
10n–1 = 1000·5·10n–4 > 200·5·(1 + 9(n – 4)) = 200(45n – 175) > 200n при n ≥ 4.
Однозначным искомое число, очевидно, быть не может. Осталось рассмотреть два случая.
1) n = 2. Но 10a + b < 12(a + b) (a и b – цифры).
2) n = 3. В этом случае получаем 100a + 10b + c = 12(a + b + c), откуда 11(8a – c) = 2b, т.е. b делится на 11. Значит, b = 0, 8a = c, откуда a = 1, c = 8.
Ответ
108.
