Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Решение

  Пусть искомое число содержит n цифр. Тогда оно не меньше чем 10^n–1 (это наименьшее n-значное число). С другой стороны, сумма его цифр не больше 9n (так как каждая цифра не больше 9). Поэтому искомое число не превосходит  12•9n = 108n.  Но согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899)
10^n–1 = 1000·5·10^n–4 > 200·5·(1 + 9(n – 4)) = 200(45n – 175) > 200n  при  n ≥ 4.
  Однозначным искомое число, очевидно, быть не может. Осталось рассмотреть два случая.
  1)  n = 2.  Но  10a + b < 12(a + b)  (a и b – цифры).
  2)  n = 3.  В этом случае получаем  100a + 10b + c = 12(a + b + c),  откуда  11(8a – c) = 2b,  т.е. b делится на 11. Значит,  b = 0,  8a = c,  откуда  a = 1,  c = 8.

Ответ

108.

Источники и прецеденты использования