Задача 32081

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Пусть a и b – целые числа. Докажите, что если  a² + 9ab + b²  делится на 11, то и  a² – b²  делится на 11.

Решение

a² + 9ab + b² = (a – b)² + 11ab.  Отсюда следует, что на 11 делится  (a – b)².  Поскольку 11 – число простое, то на 11 делится и  a² – b² = (a – b)(a + b).

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	10
Дата	1987
задача
Номер	05