ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32081
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a и b – целые числа. Докажите, что если  a² + 9ab + b²  делится на 11, то и  a² – b²  делится на 11.


Решение

a² + 9ab + b² = (a – b)² + 11ab.  Отсюда следует, что на 11 делится  (a – b)².  Поскольку 11 – число простое, то на 11 делится и  a² – b² = (a – b)(a + b).

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 10
Дата 1987
задача
Номер 05

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .