Задача 32787

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?

Решение

Предположим, что такие 57 двузначных чисел выбрать можно. Тогда из каждой пары вида (n, 100-n), где n принимает значения от 10 до 49, выбрано не более одного числа; таких пар - 40, значит, из чисел от 10 до 90 выбрано не более 41 числа (могло быть выбрано также и число 50). Остается еще 9 чисел от 91 до 99; значит, всего выбрано не более 50 чисел, но мы предположили, что выбрано 57 чисел, - противоречие. Значит, наше предположение было неверно.

Ответ

Нет, нельзя.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Год	2001/02
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	2
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
задача
Номер	04