Задача 32883

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Формула Герона ] [ Неравенство Коши ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Доказать, что
  а) из всех треугольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием);
  б) из всех треугольников с данной стороной и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием).

Решение 1

  а) По формуле Герона  S² = p(p – a)(p – b)(p – c).  Если p и a фиксированы, то, поскольку сумма  (p – b) + (p – c) = a  постоянна, то произведение
(p – b)(p – c)  максимально, когда  p – b = p – c,  то есть когда  b = c.

  б) Выводится из а) аналогично доказательству а) в решении 2.

Решение 2

  б) Так как сторона AB и площадь S треугольника ABC фиксированы, то фиксирована и длина высоты, опущенной на AB. Поэтому можно считать, что вершина C расположена на фиксированной прямой l, параллельной AB. Но тогда сумма  AC + CB  наименьшая, когда C – точка пересечения l и прямой AB′, где B′ – точка, симметричная B относительно l (см. решение задачи 55557 или 52489). Это и значит, что треугольник ABC – равнобедренный.

  а) Пусть S – площадь равнобедренного треугольника T с данными стороной а и периметром P, а S₁ – площадь другого треугольника T₁ с теми же данными. Согласно б) периметр P₂ равнобедренного треугольника T₂ cо стороной a и площадью S₁ меньше P. Значит, и высота T₂, опущенная на сторону a, меньше соответствующей высоты T, то есть  S₁ < S.