В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны α , помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r . Найдите радиус сферы.

   Решение

В 2n-угольнике (n нечетно)  A₁...A_2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A₁A_{n + 1}, A₂A_{n + 2},..., A_{n - 1}A_{2n - 1} проходят через точку O. Докажите, что и диагональ A_nA_2n проходит через точку O.

   Решение

На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что  AK² = LK·KM.

   Решение

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Ваня записал несколько простых чисел, использовав ровно по одному разу все цифры от 1 до 9. Сумма этих простых чисел оказалась равной 225.
Можно ли, использовав ровно по одному разу те же цифры, записать несколько простых чисел так, чтобы их сумма оказалась меньше?

Решение

Например,  207 = 2 + 3 + 5 + 41 + 67 + 89 = 2 + 3 + 5 + 47 + 61 + 89 = 2 + 5 + 7 + 43 + 61 + 89.

Ответ

Можно.

Замечания

1. Все чётные цифры, кроме цифры 2, должны стоять в разряде десятков (иначе соответствующее число не будет простым).
Сумма будет наименьшей, если все остальные числа будут стоять в разряде единиц; можно показать, что в остальных случаях сумма будет не меньше 225.

2. Других примеров нет.

Источники и прецеденты использования