Задача 87137

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны α , помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r . Найдите радиус сферы.

Решение

Пусть сфера с центром O и радиусом R касается рёбер трёхгранного угла с вершиной P в точках A , B и C , а окружность радиуса r касается прямых AP и BP в точках A и B соответственно. Тогда

a = AB = 2r cos .
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду PABC с вершиной P . Пусть PM – её высота, AB = BC = AC = a . Обозначим через ϕ угол между высотой PM и боковым ребром. Тогда
AP = , AM = a, sin ϕ = = sin ,

tg ϕ = = = .
Пусть O1 – центр окружности, вписанной в угол APB . Тогда O1A AP , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах OA AP . Из прямоугольного треугольника AOP находим, что
R = AO = AP tg ϕ = · = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7508