ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32889
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Будем называть точку плоскости узлом, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.


Решение 1

  Лемма. Пусть точки X, Y принадлежат треугольнику ABC, но не совпадают с его вершинами, и отрезок XY не параллелен ни одной из сторон треугольника. Тогда от одной из вершин треугольника ABC можно отложить отрезок, равный и параллельный XY, так, что второй его конец окажется внутри треугольника.
  Доказательство. Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные XY. Одна из этих прямых лежит между двумя другими. Если, например, эта прямая проходит через вершину A, то она пересечёт сторону BC в некоторой точке D и разобьёт ABC на треугольники ABD и ACD. Отрезок XY лежит в одном из них и параллелен стороне AD, поэтому он короче AD. Значит, если отложить от точки A внутрь треугольника отрезок AZ, параллельный и равный XY, его конец Z окажется внутри треугольника ABC.

  Вернёмся к задаче. Пусть X и Y – два узла внутри треугольника ABC. Если прямая XY параллельна одной из сторон треугольника, все в порядке. В противном случае, точка Z, построенная согласно лемме, также является узлом. По условию она совпадает с одной из точек
X или Y. Но тогда точки X и Y лежат на прямой, проходящей через соответствующую вершину треугольника.


Решение 2

  Если прямая XY не проходит через вершины треугольника ABC, то она не пересекает одну из его сторон, например, AB. Тогда внутри треугольников AXB и AYB нет узлов, и по формуле Пика (см. задачу 58208) площади треугольников AXB и AYB равны. Значит, точки X и Y находятся на равных расстояниях от прямой AB, то есть прямая XY параллельна прямой AB (см. рис.).

Замечания

1. См. также задачу 32895.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 8
задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .